Este contenido está pensado para estudiantes de primaria avanzada, secundaria y primeros cursos de álgebra. Si alguna vez te confundiste con los signos, con el término del medio o con los productos notables, aquí lo vas a aclarar con ejemplos reales y resueltos paso a paso.
Qué es un binomio y qué significa elevarlo al cuadrado
Un binomio es una expresión algebraica que tiene dos términos. Por ejemplo:
x + 3
a − 5
2m + n
Cuando decimos “binomio al cuadrado”, no significa elevar solo una letra. Significa multiplicar el binomio por sí mismo. Es decir:
(x + 3)² significa
(x + 3)(x + 3)
Este detalle es clave. Muchos errores vienen de olvidar que el exponente 2 afecta a todo el binomio, no solo al primer término.
Entender esto te ahorra memorizar sin sentido. Si sabes qué estás multiplicando, la fórmula deja de ser algo misterioso.
Fórmula del binomio al cuadrado explicada con sentido
Existen dos casos principales que debes conocer. No porque haya que memorizarlos, sino porque se repiten constantemente en ejercicios y exámenes.
Cuadrado de un binomio suma
La fórmula es:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Pero vamos a entenderla, no solo escribirla.
Cuando multiplicas
(a + b)(a + b)
haces lo siguiente:
a × a = a²
a × b = ab
b × a = ab
b × b = b²
Al sumar todo, obtienes:
a² + ab + ab + b²
a² + 2ab + b²
Ese 2ab no aparece por magia. Aparece porque el término del medio se repite dos veces.
Cuadrado de un binomio resta
Aquí es donde muchos estudiantes fallan con los signos.
(a − b)² = a² − 2ab + b²
El procedimiento es el mismo, pero hay que cuidar los signos.
(a − b)(a − b)
a × a = a²
a × (−b) = −ab
(−b) × a = −ab
(−b) × (−b) = b²
Al sumar:
a² − ab − ab + b²
a² − 2ab + b²
El último término siempre es positivo, porque un negativo por negativo da positivo.
Errores comunes al resolver binomios al cuadrado
Aquí conviene frenar un momento. Estos errores son muy frecuentes y evitables.
Uno de los más comunes es elevar solo el primer término y olvidar el segundo. Por ejemplo, pensar que:
(x + 4)² = x² + 4²
Eso es incorrecto. Falta el término del medio.
Otro error típico es olvidar el signo negativo en el término central cuando el binomio es una resta. Por ejemplo:
(a − 3)² ≠ a² + 6a + 9
El término correcto es −6a, no +6a.
También es común confundir el orden de los términos o no simplificar correctamente. Por eso es tan importante resolver ejercicios paso a paso, no de memoria.
Ejercicios resueltos de binomio al cuadrado paso a paso
Ahora viene la parte más importante. Los ejercicios. Aquí no hay saltos ni respuestas sin explicación.
Ejercicio 1
Resolver: (x + 5)²
Paso 1. Identificar los términos
a = x
b = 5
Paso 2. Aplicar la fórmula
a² + 2ab + b²
x² + 2(x)(5) + 5²
Paso 3. Simplificar
x² + 10x + 25
Resultado final:
x² + 10x + 25
Ejercicio 2
Resolver: (y − 4)²
Paso 1. Identificar
a = y
b = 4
Paso 2. Usar la fórmula del binomio resta
a² − 2ab + b²
y² − 2(y)(4) + 4²
Paso 3. Simplificar
y² − 8y + 16
Resultado final:
y² − 8y + 16
Ejercicio 3
Resolver: (2x + 3)²
Aquí el primer término tiene coeficiente.
Paso 1. Identificar
a = 2x
b = 3
Paso 2. Elevar al cuadrado
(2x)² + 2(2x)(3) + 3²
Paso 3. Calcular
4x² + 12x + 9
Resultado final:
4x² + 12x + 9
Ejercicio 4
Resolver: (3a − 2b)²
Paso 1. Identificar
a = 3a
b = 2b
Paso 2. Aplicar fórmula
(3a)² − 2(3a)(2b) + (2b)²
Paso 3. Resolver
9a² − 12ab + 4b²
Resultado final:
9a² − 12ab + 4b²
Binomio al cuadrado dentro de los productos notables
El binomio al cuadrado forma parte de un grupo llamado productos notables. Se llaman así porque siguen patrones fijos que se repiten.
Dentro de los productos notables más comunes están:
- Cuadrado de un binomio
- Producto de suma por diferencia
- Cubo de un binomio
Entender el binomio al cuadrado te facilita aprender los demás, porque el razonamiento es muy parecido. No se trata de aprender fórmulas sueltas, sino de entender cómo se multiplican expresiones algebraicas.
Ejercicios de binomios para practicar
Antes de pasar al PDF, es importante que practiques por tu cuenta. Intenta resolver estos ejercicios sin mirar la solución de inmediato.
- (x + 7)²
- (a − 6)²
- (2y − 5)²
- (3m + 4n)²
- (5p − q)²
Cuando termines, revisa cada paso. No solo el resultado final. Pregúntate si aplicaste bien la fórmula y si cuidaste los signos.
Binomio al cuadrado ejercicios resueltos en PDF
El material en PDF está pensado para reforzar lo aprendido aquí. Incluye:
- Ejercicios básicos
- Ejercicios intermedios
- Ejercicios con variables y coeficientes
- Soluciones explicadas paso a paso
La mejor forma de usar el PDF es resolver primero los ejercicios en una hoja aparte y luego comparar el procedimiento, no solo la respuesta.
Practicar así mejora mucho más que copiar soluciones.
Consejos finales para dominar el binomio al cuadrado
No intentes memorizar sin entender. Siempre piensa en el binomio como una multiplicación consigo mismo. Escribe todos los pasos, al menos mientras estás aprendiendo. Con el tiempo, el proceso se vuelve natural.
Cuida especialmente los signos cuando trabajes con restas. Revisa siempre el término del medio. Ahí es donde ocurren la mayoría de los errores.
El binomio al cuadrado no es difícil. Solo necesita orden, práctica y una explicación clara. Con eso, deja de ser un problema y se convierte en una herramienta más del álgebra.
Lingüista y pedagoga apasionada por la enseñanza del español. Especialista en guías, ejemplos prácticos y recursos educativos. Crea contenido claro y útil.