Vamos a explicar qué es el cuadrado de un binomio, cómo se desarrolla, por qué funciona la fórmula y, sobre todo, cómo resolver ejercicios paso a paso hasta que el proceso quede claro. Al final tendrás ejercicios resueltos y una sección pensada para descargar en PDF y practicar con calma.
Aquí lo importante no es correr. Es entender.
Qué es el cuadrado de un binomio
Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos, unidos por una suma o una resta. Por ejemplo:
a + b
x − 3
2m + 5n
Cuando hablamos del cuadrado de un binomio, nos referimos a multiplicar ese binomio por sí mismo. Es decir:
(a + b)² significa
(a + b)(a + b)
No es elevar solo una letra. Es multiplicar toda la expresión por ella misma. Este detalle es clave y aquí es donde muchos errores comienzan.
El cuadrado de un binomio siempre da como resultado un trinomio, es decir, una expresión con tres términos. Eso no es casualidad, y entenderlo te ayuda a no olvidar ningún paso.
Fórmulas del cuadrado de un binomio
Existen dos fórmulas básicas. No son mágicas. Salen directamente de multiplicar.
Cuadrado de la suma
Cuando el binomio es una suma:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Qué significa cada parte:
- a² es el cuadrado del primer término
- 2ab es el doble del producto del primero por el segundo
- b² es el cuadrado del segundo término
Cuadrado de la diferencia
Cuando el binomio es una resta:
(a − b)² = a² − 2ab + b²
La estructura es la misma. Lo único que cambia es el signo del término del medio.
Esto no hay que memorizar a ciegas. Si entiendes de dónde sale, no se te olvida.
Por qué funciona la fórmula
Veámoslo sin atajos.
Tomemos (a + b)²
Eso es lo mismo que:
(a + b)(a + b)
Multiplicamos término por término:
a · a = a²
a · b = ab
b · a = ab
b · b = b²
Ahora sumamos los resultados:
a² + ab + ab + b²
a² + 2ab + b²
Ahí está la fórmula. Nada más.
Ejemplos resueltos de binomios al cuadrado
Ahora vamos a lo importante: ejercicios resueltos, explicados paso a paso.
Ejemplo 1
(x + 3)²
Usamos la fórmula del cuadrado de la suma.
Primer término al cuadrado:
x²
Doble del producto del primero por el segundo:
2 · x · 3 = 6x
Segundo término al cuadrado:
3² = 9
Resultado final:
x² + 6x + 9
Ejemplo 2
(2a − 5)²
Aquí es una diferencia, así que usamos la segunda fórmula.
Primer término al cuadrado:
(2a)² = 4a²
Doble del producto con signo negativo:
2 · 2a · 5 = 20a
Como es resta, queda −20a
Segundo término al cuadrado:
5² = 25
Resultado final:
4a² − 20a + 25
Ejemplo 3
(3x + 4y)²
Primer término al cuadrado:
(3x)² = 9x²
Producto del primero por el segundo:
3x · 4y = 12xy
Doble del producto:
24xy
Segundo término al cuadrado:
(4y)² = 16y²
Resultado final:
9x² + 24xy + 16y²
Ejercicios de binomios resueltos paso a paso
Aquí trabajamos como en un cuaderno de clase.
Ejercicio 1
(a + 7)²
a² + 2 · a · 7 + 49
a² + 14a + 49
Ejercicio 2
(x − 4)²
x² − 2 · x · 4 + 16
x² − 8x + 16
Ejercicio 3
(5m + 2n)²
(5m)² = 25m²
2 · 5m · 2n = 20mn
(2n)² = 4n²
Resultado:
25m² + 20mn + 4n²
Ejercicio 4
(4p − 3q)²
16p² − 24pq + 9q²
Errores más comunes al resolver binomios al cuadrado
Aquí es donde muchos fallan, incluso sabiendo la fórmula.
Error 1: olvidar el término del medio
(a + b)² no es a² + b²
Siempre hay un término más.
Error 2: errores de signo
En el cuadrado de una resta, solo el término del medio es negativo.
El último término siempre queda positivo porque es un cuadrado.
Error 3: elevar solo una letra
(2x)² no es 2x²
Es 4x²
Ejercicios de binomios para practicar
Ahora te toca a ti. Estos ejercicios no están resueltos a propósito.
- (x + 5)²
- (a − 9)²
- (2m + 3)²
- (4x − y)²
- (3p + 2q)²
La idea es que intentes resolverlos siguiendo exactamente los pasos que viste antes.
Descarga de ejercicios resueltos en PDF
Este contenido está pensado para estudiarse con calma. Por eso, la versión en PDF incluye:
- Explicación clara de las fórmulas
- Ejercicios resueltos paso a paso
- Ejercicios propuestos para practicar
- Formato limpio, listo para imprimir
Ideal para estudiantes, docentes y padres que acompañan el estudio en casa.
Preguntas frecuentes sobre binomios al cuadrado
Qué es un binomio al cuadrado
Es una expresión algebraica donde un binomio se multiplica por sí mismo.
Cuántos términos tiene el resultado
Siempre tres. Por eso se obtiene un trinomio.
Se puede resolver sin fórmula
Sí. Multiplicando el binomio por sí mismo término a término.
En qué grado se estudia
Normalmente en secundaria, como parte del álgebra básica.
Lingüista y pedagoga apasionada por la enseñanza del español. Especialista en guías, ejemplos prácticos y recursos educativos. Crea contenido claro y útil.